题号找不到了但类似题目很多问题不大
问题描述
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Problem Description
In the Fibonacci integer sequence, F0 = 0, F1 = 1, and Fn = Fn-1 + Fn-2 for n ≥ 2. For example, the first ten terms of the Fibonacci sequence are: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … An alternative formula for the Fibonacci sequence is
$$\left[\begin{matrix}F_{n+1}&F_n\\ F_n&F_{n-1}\ \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 1& 1\\ 1&0\ \end{matrix}\right]^n= \underbrace{\left[\begin{matrix} 1& 1\\ 1&0\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1& 1\\ 1&0\ \end{matrix}\right]\cdots \left[\begin{matrix} 1& 1\\ 1&0\ \end{matrix}\right]}_{ n\ times} $$ Given an integer n, your goal is to compute the last 4 digits of Fn.
Input
The input test file will contain multiple test cases. Each test case consists of a single line containing n (where 0 ≤ n ≤ 1,000,000,000). The end-of-file is denoted by a single line containing the number −1.
Output
For each test case, print the last four digits of Fn. If the last four digits of Fn are all zeros, print ‘0’; otherwise, omit any leading zeros (i.e., print Fn mod 10000).
Sample Input
0
9
999999999
1000000000
-1
Sample Output
0
34
626
6875
题意：
斐波那契数列可以通过矩阵相乘来计算，给出一个范围在0到1,000,000,000的数，求Fn的最后四位。
解题思路：
因为题目的数据很大而且题目提示了用矩阵进行计算。所以这里可以用矩阵的快速幂求解。
矩阵的快速幂可以高效地计算矩阵的高次方。将O(n)的时间复杂度降到O(log n)。
一般会通过连乘n-1次来得到矩阵的n次幂，而利用矩阵乘法的结合律可以减少重复计算的次数：
把n个矩阵进行两两分组，如：$$A\times A\times A\times A\times A\times A = (A\times A)\times(A\times A)\times(A\times A)$$ 这样变的好处是只需要计算一次A*A，然后将结果(A*A)连乘自己两次就能得到A^6，即(A*A)^3=A^6。一共乘了3次，少于原来的5次。
但上面是取一个具体的数来作为最小单位长度，虽然能够改进效率，但当n趋向无穷大时，取2或者3和1没什么区别。所以需要找到一种与n增长速度相适应的单位长度。
可以通过二进制将计算离散化。比如A^156，156的二进制为10011100，于是可以得到： $$A^{156}=(A^4)\times (A^8)\times (A^{16})\times (A^{128})$$
而(A^16)可以通过(A^8)*(A^2)得到，而(A^8)可以通过(A^4)*(A^2)，每一次计算都可以利用现有的结果。
AC代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <memory>
using namespace std;
#define MAXNUM 26
int id=1;
class matrix
{
public:
int a[2][2];
matrix operator*(const matrix& p)
{
matrix tmp;
tmp.a[0][0]=(a[0][0]*p.a[0][0]+a[0][1]*p.a[1][0])%10000;
tmp.a[0][1]=(a[0][0]*p.a[0][1]+a[0][1]*p.a[1][1])%10000;
tmp.a[1][0]=(a[1][0]*p.a[0][0]+a[1][1]*p.a[1][0])%10000;
tmp.a[1][1]=(a[1][0]*p.a[0][1]+a[1][1]*p.a[1][1])%10000;
return tmp;
}
void operator=(const matrix& p)
{
a[0][0]=p.a[0][0];
a[0][1]=p.a[0][1];
a[1][0]=p.a[1][0];
a[1][1]=p.a[1][1];
}
};
int multiply(matrix a,int n)
{
matrix res;
res.a[0][0]=res.a[1][1]=1;
res.a[0][1]=res.a[1][0]=0;
while(n)
{
if(n&1)
res=res*a;
n>>=1;
a=a*a;
}
return res.a[0][1];
}
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n!=-1)
{
matrix res;
res.a[0][1]=res.a[0][0]=res.a[1][0]=1;
res.a[1][1]=0;
printf("%d\n",multiply(res,n));
}
return 0;
}